El jueves 20 de septiembre, en la cuenta oficial del «Heildelberg Laureate Forum», un congreso donde se reúnen los mejores matemáticos, se publicó el siguiente tweet:
¿Va a dar Sir Michael Atiyah una conferencia el lunes 25 de septiembre en el Heilderberg Laureate Forum 2018? Si. ¿Presentará una prueba de la Hipótesis de Riemann? Si, eso es lo que dice su resumen.
En ese momento las redes sociales empezaron a hervir: twitter, whatsapp, instagram, … Bueno, quizás no hirvieron del todo, o al menos no a todos. Pero la comunidad matemática si lo hizo. No se habla de otra cosa, y todos esperamos con ilusión la conferencia del lunes.
Pero empecemos por el principio, ¿quién es ese tal Atiyah y qué es esa hipótesis del tal Riemann?
Sir Michael Atiyah es uno de los matemáticos más premiados de la actualidad. Ha recibido los dos máximos galardones de la comunidad matemática, la medalla Fields y el premio Abel. Se trata sin duda de uno de los mejores matemáticos de esta época. Actualmente tiene 89 años.
Si quieres saber más de él puedes mirar su entrada en la wikipedia o ver algunos vídeos suyos contando su vida en la web de historias.
El profesor Atiyah trabaja en una rama de las matemáticas conocida como «Topología algebraica». La topología busca relaciones entre las formas de los objetos y transformaciones parecidas a lo que sucede cuando jugamos con plastilina.
Para un topólogo no hay diferencia entre la taza del café y el donut que tienen al lado.
Si el profesor ha conseguido realmente demostrar la hipótesis de Riemann, este día pasará a la historia y la será sin duda la noticia de la década.
Los problemas del milenio
La hipótesis que el profesor Atiyah afirma haber demostrado es una cuestión que desde hace 160 años se escapa de las manos a todos los matemáticos que lo han intentado. En caso de conseguirlo habría resuelto uno de los problemas del milenio.
Estos problemas son una colección de siete cuestiones propuestas por el Instituto Clay de Matemáticas que ofrece un millón de dólares a quien sea capaz de resolver alguno. ¡Un millón de dólares por cada uno que resuelvas!
Uno de ellos, la conjetura de Poincaré, ya fue resuelto por el Profesor Grigori Perelman en 2006. Ese mismo año se le concedió la medalla Fields en el Congreso Internacional de Matemáticos que se celebró en Madrid. Perelman no asistió a la ceremonia. Tampoco quiso recoger el premio del Instituto Clay por haber resuelto el problema.
El resto de problemas sigue sin resolver. Así que todavía estás a tiempo de pasar a la historia y ganar seis millones de dólares.
De entre todos los problemas del milenio, la hipótesis de Riemann es, sin duda, la que más implicaciones tendría en la sociedad.
Hipótesis vs. teorema
Seguro que habréis oído la famosa frase: «un diamante es para siempre» aludiendo a la dureza y durabilidad de este mineral. Bueno pues hay algo todavía más duro y eterno: Los teoremas matemáticos.
Un teorema matemático es, sin lugar a dudas, lo más eterno que existe. Una vez que se ha creado, ese teorema vivirá para siempre, más allá de los límites del tiempo…
Pero, ¿cómo se gesta un teorema? El método es siempre el mismo: se parte de una hipótesis, una conjetura, algo que parece que es cierto. Un par de ejemplos son:
- Hipótesis 1: Como 1+3=4, 56+12=68 o 38+49=87, parece que cuando se suman números con una o dos cifras, el resultado es siempre un número de dos cifras.
- Hipótesis 2: Como 1+3=4, 3+3=6 o 19+21=40, parece que cuando se suman dos números impares, el resultado es siempre un número par.
Estos dos ejemplos son dos hipótesis. Dos relaciones que parecen ser ciertas. Pero están muy lejos de ser un teorema.
¿Cómo hago que se conviertan en un teorema? Pues no queda más remedio que demostrarlo. Una demostración las convertirá en teoremas.
Pero demostrar algo matemáticamente no es sencillo. Eso sí, si lo conseguimos habremos despejado toda duda, no habrá ninguna posibilidad de que sean falsas.
Se dice que Platón, en su Academia, exigía a sus discípulos haber estudiado geometría para que fueran capaces de entender cómo se da solidez lógica a un argumento.
En ocasiones, al buscar la demostración obtiene que dicha hipótesis es falsa. Eso es lo que sucede con nuestra hipótesis 1. Si tomamos la suma 51+67=118, que tiene tres cifras. Por tanto, la hipótesis 1 es rotundamente falsa. Hemos encontrado un contraejemplo. Hemos refutado la hipótesis.
Demostrar que la hipótesis 2 es cierta requiere algo de argumentación:
- Un número par es aquél que al ser dividido entre 2 sale exacta la división. El resto será 0.
- Un número impar es aquél que al dividirse entre 2, la división no sale exacta, sino que el resto es 1.
- La propiedad fundamental de la división afirma que el dividendo es igual al divisor por el cociente, más el resto.
- Conjugando los puntos anteriores, un número par que llamaremos $p$ se descompondrá como $p=2c$, siendo $c$ el cociente. Como el resto es cero, no es necesario sumarlo.
- Sin embargo, al dividir cualquier número impar entre 2 se obtendrá de resto 1. Si llamamos $n$ al número impar y $c$ al cociente, la propiedad fundamental de la división nos da la relación $n=2c+1$
- Tomemos ahora dos números impares distintos $m$ y $n$, cuyos cocientes entre 2 serán $q$ y $c$ respectivamente. Sus descomposiciones serán $m=2q+1$ y $n=2c+1$.
- Ahora los sumamos: $m+n=2q+1+2c+1=2q+2c+2$. Se puede extraer factor común de esta última expresión : $m+n=2(q+c+1)$ por lo que el número que resulta al sumar $m+n$ no tiene resto al dividirse entre 2. Es por tanto un número par, y lo será siempre que sumemos dos impares. QED.
La interjección final QED es el acrónimo de: «Quod erat demonstrandum» es decir «la cuestión está demostrada» y se utiliza para marcar el final de la demostración.
La hipótesis de Riemann
En 1859, el matemático alemán Bernhard Riemann formuló una conjetura a propósito de una función que también lleva su nombre, la función «zeta» de Riemann:
$$\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}=\left(\frac{1}{1}\right)^s+\left(\frac{1}{2}\right)^s+\left(\frac{1}{3}\right)^s+…$$
Si no entiendes la definición, piensa que se están sumando potencias de exponente $s$ de todas las unidades fraccionarias(1, 1/2, 1/3, etc.).
Para comprender bien todo esto necesitas saber un poco de números complejos. Si no los has estudiado, o no te acuerdas, basta con que te quedes con la idea general. No mires muy a fondo. Piensa que un número complejo es la suma de un número real, un número de los normalitos, más otro número «imaginario». Los números imaginarios son números que no se ven, pero que están ahí.
La función es complicada, muy muy rara.
Riemann buscaba dónde se anulaba la función, es decir, donde valía cero.
Descubrió que había algunos ceros de la función para valores de $s$ que eran enteros negativos. A esos valores les llamó ceros triviales.
También descubrió que existían otros ceros, los no triviales. La hipótesis trata sobre la zona donde están estos ceros no triviales:
La parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2
Simple, ¿no?… Parece que todos los ceros no triviales de esta función son de la forma $\frac{1}{2}+ia$, siendo $a$ un número real.
Se han hecho innumerables intentos de ver si esta hipótesis es cierta o falsa. Hay un sinfín de máquinas buscando esos ceros no triviales. Pero el resultado es siempre el mismo. Todos los que aparecen tienen parte real 0,5.
Conclusión
Este lunes podemos asistir en directo al nacimiento de un teorema. Una verdad absoluta, una de esas ideas puras de las que habla Platón en su filosofía.
Esto será así siempre que la demostración sea válida. La verdad es que la comunidad matemática es bastante escéptica al respecto. Seguro que hay alguna parte que falla, que no está fuertemente aclarada. Algo que se escape. Pero solo el intento habrá merecido la pena.
¿Y eso para qué sirve? Como dice el matemático Miguel Ángel Medina en su blog gaussianos, son muchas las conjeturas que empiezan diciendo: «Suponiendo que la hipótesis de Riemann es cierta…».
El gran matemático Leonhard Euler demostró que esta función está relacionada con la distribución de los números primos. Demostrar la hipótesis permite, por ejemplo, afinar la distribución de números primos, tan útiles en el cifrado de todas nuestras comunicaciones a traves de los medios digitales.
¿Qué pasaría si fuera posible conocer de forma rápida y sin ambigüedades si un número es primo o no? Pues de primeras, los sistemas de cifrado deberían cambiarse de la noche a la mañana. El sistema bancario y las comunicaciones caerían en todo el mundo. Las plataformas de comercio electrónico deberían cerrar varios días, …
La entrada «El (posible) nacimiento de un teorema» aparece en el blog del Departamento de Matemáticas del Colegio San Juan Bosco y participa en la Edición 9.3 del Carnaval de Matemáticas organizado por «Esto no entra en el examen»